Formeln umstellen

Wer kennt es nicht - das Thema Formeln. Es begegnet den meisten im Alltag oder wenn die Kinder aus der Schule mit Fragen nach Hause kommen, an denen man selber verzweifelt. Aber, und das ist das Schöne an der Mathematik, man braucht nur ein paar Grundregeln zu beachten und anzuwenden und schon wird die Lösung (meistens) recht einfach. Zugrunde liegt oft das Aufstellen der Formeln, wenn eine Aufgabenstellung mit dem Zusammenhang verschiedener Größen gegeben ist. Die Spezialfälle in der Praxis sind sehr umfangreich, hier gehen wir von einer existierenden Formel (z.B. aus der Formelsammlung) oder einem gegebenen Ansatz aus.

Keine Angst vor den Buchstaben (auch als Platzhalter oder Variablen bezeichnet), die Rechenregeln und Rechenoperationen sind in diesem Fall die gleichen wie mit Zahlen. Es ist immer so, dass man gegebene Größen hat und eine (oder in komplexen Fällen mehrere) Variable oder Unbekannte ausrechnen möchte. Deshalb ist es das Ziel der Umstellung von Formeln, diese gesuchten Größen auf einer Seite der Gleichung zu isolieren.

Die Vorgehensweise bei Termen ist mit Zahlengleichungen identisch, der erste Schritt ist immer, die „Rechenbarkeit“ oder Handhabung zu vereinfachen. Hierbei sollten Klammern aufgelöst und Brüche bzw. Dezimalzahlen weitgehend vereinfacht oder kompatibel dargestellt werden (Vorsicht auch bei Potenzen und Wurzeln).

Der nächste Schritt ist die Isolierung der gesuchten Größe auf einer Seite der Gleichung, hierbei geht man pragmatisch in Einzelschritten vor. Das Gleichheitszeichen in einer Gleichung entspricht dem Zünglein an der Waage; um das „Gleichgewicht“ zu erhalten, MUSS auf beiden Seiten der Gleichung IMMER die gleiche Rechenoperation ausgeführt werden.

Zur Erleichterung bei der potentiellen Fehlersuche sollte man hierbei Schritt für Schritt (am besten EIN Rechenschritt pro Zeile) dokumentieren. Als Ergebnis erhält man eine Gleichung, in der die gesuchte Größe (oder Variable) isoliert auf einer Seite der Gleichung steht. Dann braucht man nur noch die bekannten Größen in die Buchstaben einzusetzen und das Gesuchte auszurechnen (Vorsicht, hier schleichen sich manchmal noch Fehler ein, ganz beliebt sind immer wieder Vorzeichenfehler, die dann zu falschen Ergebnissen führen).

Wichtig ist auch die Betrachtung von Einheiten (wie z.B. Längen, Flächen und Volumina), damit bei potentiellen Umrechnungen die Faktoren der Größenordnung richtig getroffen werden; diese sollten daher in der Formel direkt mit gerechnet werden (auch sie unterliegen den Rechenregeln). In vielen Fällen lässt sich das erwartete Ergebnis (zumindest in der Größenordnung) grob abschätzen - damit hat man eine Kontrolle bei groben Rechenfehlern

Zusammengefasst: Wenn man sich an diese einfachen Regeln hält, verliert das Thema Formeln umstellen seinen Schrecken, den sicheren Umgang mit Zahlenmengen und Variablen setzen sie jedoch voraus:

1. Klammern auflösen (Achtung - Vorzeichen !!!)
2. Brüche bzw. Dezimalzahlen umwandeln (je nachdem, was einfacher ist)
3. auf beiden Seiten gleiche Rechenoperationen durchführen (eine Zeile pro Schritt)
4. Isolation der gesuchten Variablen oder Größe auf einer Seite der Gleichung
5. Einsetzen und Ausrechnen (Vorsicht bei Dimensionen)
6. zur Kontrolle Überschlagsrechnung, wenn möglich

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