PQ-Formel

Der intelligente Mensch ist faul. Dieser Spruch gilt insbesondere für Mathematiker. Um faul zu sein bedarf es wenig, um aber intelligent faul zu sein braucht es Köpfchen. Der geschickte Mathematiker beweist Köpfchen, in dem er Faustformeln entwickelt.

Hat man ein Problem, dann wendet man eine Faustformel an. Viele kennen solche Formeln, wenn man auf dem Markt steht und den Preis für die Ware abschätzen möchte, dann braucht man einen Dreisatz. Wenn man Flüssigkeiten verdünnen möchte, dann braucht man ein Mischungskreuz. Wenn man quadratische Gleichungen lösen möchte, dann braucht man die PQ Formel.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist ein Gleichungssystem, das einen quadratischen Term enthält. Um diese Gleichungen in ein Schema zu bringen werden diese Gleichungssysteme in eine Normalform überführt.

Diese sieht dann wie folgt aus:

2
ax + bx + c = 0

und noch etwas allgemeiner:

2
x +px +q = 0

(der quadratische Term ist frei geformt)

Durch Umformungen kann man alle quadratischen Gleichungssysteme in diese Form überführen. Wenn man diese Gleichungssysteme aufträgt, so werden so genannte Hyperbeln dargestellt. Diese sind gegenüber der Y- Achse spiegelsymmetrisch. Die Form der Gleichung wird auch umgangssprachlich (Pennäler) als die Mitternachtsformel bezeichnet.

Ziel der Arbeit

Man möchte gerne die x- Werte bestimmen. Gesucht sind also die Auflösungen für die X- Werte.

Durch Umformungen erreicht man folgende Bestimmungen für x:
2
x= -p/2 +/- Wurzel aus (p/2) -q

oder noch einfacher: 2
x= -p/2 +/- 0.5* wurzel aus(p - 4q)

Es gibt übrigens immer zwei Lösungen für x. Einmal durch Verwendung des Minuszeichens beim zweiten Term oder durch Verwendung des Pluszeichens beim zweiten Term. Das liegt daran, dass quadratische Gleichungen spiegelsymmetrisch zur Y- Achse sind. Oder einsichtiger -3 * -3 =9 genauso wie 3 * 3. Es gibt also immer zwei Lösungen.

Herleitung der pq- Formel

Der Beweis für die pq-Formel erfolgt durch eine gelungene Umformung. Diese ist allerdings nicht direkt herzustellen. Man muss einen Kunstgriff anwenden, um die Formel zu beweisen. Ausgehend von obiger Mitternachtsformel wird eine quadratische Ergänzung durchgeführt.
Man addiert auf beiden Seiten der Gleichung den Term (p/2) zum Quadrat. Durch anschließendes Ausklammern und Umformen bekommt man dann die pq Formel.

Praktische Anwendungen und Bedeutung der pq Formel

Natürlich hat die Lösung der pq- Formel ihren eigenen Reiz und Charme für Mathematiker. Aber die Formel hat auch ihre Bedeutung für die reale Welt. Viele Vorgänge sowohl in der Natur als auch in der Wirtschaft lassen sich durch quadratische Gleichungen darstellen. Das Verhältnis von Beschleunigungen und zurückgelegter Wegstrecke ist eine quadratische Gleichung. Die Wegstrecke, die ein Apfel, der nach unten fällt und von der Erdanziehung beschleunigt wird, lässt sich mit Hilfe der pq-Formel bestimmen. Die pq- Formel hat auch ihre Anwendung in der Polynomen- Zerlegung von quadratischen Gleichungen.

Geschichte

Die Herleitung der pq- Formel ist ein antikes mathematisches Problem. Alte Gelehrte wie Heron von Alexandria oder auch Al-Chwarizmi sollen sich schon vor mehr als 1000 Jahren diesem Problem erfolgreich angenommen haben. Es gibt Hinweise darauf, dass sich schon vor 4000 Jahren im alten Babylon Denker mit diesem Problem beschäftigt haben.

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